Derivadas parciais e suas aplicações

Reta tangente

Vejamos um exemplo do uso de derivadas parciais para encontrar as retas tangentes à superficie no ponto $(1,0)$.

\[\begin{align*} &f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\ &f(x,y) = 4 - x^2 - y^2 \end{align*}\]

Aplicando as derivadas parciais, obtemos:

\[\begin{align*} \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x} = -2x \end{align*}\]

\[\begin{align*} \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y} = -2y \end{align*}\]

As formulas para encontrar as retas tangentes são:

\[\begin{align*} z - z_0 = \dfrac { \partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x0) \end{align*}\]

\[\begin{align*} z - z_0 = \dfrac { \partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y0) \end{align*}\]

Substituindo os valores previamente encontrados, obtemos o seguinte gráfico:

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# HIDE CODE
import numpy as np
import plotly.express as px
import plotly.graph_objects as go

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# HIDE CODE
points = 100
proportion = 3

x = np.linspace(-proportion, proportion, points)
y = np.linspace(-proportion, proportion, points)

xGrid, yGrid = np.meshgrid(x, y)
zGrid = 4 - xGrid**2 - yGrid**2

fig = go.Figure(data=[go.Surface(z=zGrid, x=xGrid, y=yGrid)])

fig.add_scatter3d(x=x, y=np.zeros(len(x)), z=(-2*x + 5), mode='lines', line_width=6, line_color='black')
fig.show()

Plano tangente

Vejamos a aplicação das derivadas parciais para determinar um plano tangente á superfície, utilizaremos a mesma figura e pontos do exemplo anterior:

\[\begin{align*} &f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\ &f(x,y) = 4 - x^2 - y^2 \end{align*}\]

As derivadas de $f(x,y)$ seguem as mesmas:

\[\begin{align*} \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x} = -2x \end{align*}\]

\[\begin{align*} \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y} = -2y \end{align*}\]

Entretanto, a fórmula agora é outra, podemos encontrar o plano tangente com a seguinte equação:

\[\begin{align*} z-z_0 = \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x}(x-x_0) + \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y}(y-y_0) \end{align*}\]

No caso, $z_0$ é o valor da função $f(x,y)$ calculada no ponto $(1,0)$.
Substituindo os valores previamente encontrados, obtemos o seguinte gráfico:

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# HIDE CODE
points = 100
proportion = 3

x0 = 1
y0 = 0
z0 = 4 - x0**2 - y0**2

x = np.linspace(-proportion, proportion, points)
y = np.linspace(-proportion, proportion, points)

xGrid, yGrid = np.meshgrid(x, y)
zGrid = 4 - xGrid**2 - yGrid**2

fig = go.Figure(data=[go.Surface(z=zGrid, x=xGrid, y=yGrid, showscale=False),
                     go.Surface(x=xGrid, y=yGrid, z=(z0 -2*x0*(xGrid - x0) -2*y0*(yGrid - y0)), showscale=False)])

fig.show()

Outra aplicação das Derivadas Parciais: Gradiente

Seja $f(x, y)$ uma função que admite derivadas parciais em $(x_0, y_0)$. O vetor $\nabla f(x_0, y_0)) = \left(\dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}, \dfrac{\partial f (x_0, y_0)}{\partial y} \right)$ denomina-se gradiente de $f$ em $(x_0, y_0)$.

O vetor $\nabla f(x_0,y_0)$ é normal à curva de nível $f(x,y) = c$, em $(x_0, y_0)$, e a reta passando por $(x_0, y_0)$ e perpendicular à $\nabla f(x_0,y_0)$ é tangente à curva de nível.

A equação da reta tangente a curva de nível é:

$\nabla f(x_0,y_0) \cdot [(x, y) - (x_0, y_0)] = 0 $

Exemplo $f(x, y) = -2x^2 - y^2$

\[\begin{align*} f : \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R} \\ (x,y) &\mapsto -2x^2 - y^2 \end{align*}\]

\[\begin{align*} \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial x} = -4x \end{align*}\]

\[\begin{align*} \dfrac { \partial f(x,y)}{\partial y} = -2y \end{align*}\]

$z_0$ é o valor da função $f(x,y)$ calculada em $(1,1)$

Substituindo na formula mencionada anteriormente, obtemos:

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# HIDE CODE
points = 100
proportion = 3

x0 = 1
y0 = 1
z0 = -2*x0**2 - y0**2

x = np.linspace(-proportion, proportion, points)
y = np.linspace(-proportion, proportion, points)

xGrid, yGrid = np.meshgrid(x, y)
zGrid = -2*xGrid**2 - yGrid**2

fig = go.Figure(data=[go.Surface(z=zGrid, x=xGrid, y=yGrid, showscale=False),
                     go.Surface(x=xGrid, y=yGrid, z=(z0 -4*x0*(xGrid - x0) -2*y0*(yGrid - y0)), showscale=False)])

fig.show()